Міністерство освіти і науки України Національний університет „Львівська політехніка” Кафедра електронних обчислювальних машин Звіт про виконання лабораторної роботи № 4 з курсу „ Обробка сигналів ” Тема: Обчислення спектральних характеристик сигналу Виконав: ст. гр. КІ-4 Львів – 2006 Мета роботи: Дослідити дискретне перетворення Фур'є (ДПФ) і алгоритм швидкого перетворення Фур'є (ШПФ) за основою два як засіб ефективного обчислення спектральних характеристик періодичних і неперіодичних сигналів, а також фільтрації і апроксимації сигналів. Завдання Порядок виконання роботи
Теоретичні відомості Прямим та оберненим дискретним перетворенням Фур'є (ДПФ) називають пару взаємно однозначних лінійних перетворень виду (1), (2) EMBED Equation.3
 (пряме) (1) EMBED Equation.3
 (обернене) (2) де EMBED Equation.3
,EMBED Equation.3
. Пряме дискретне перетворення Фур'є (1) призначено для виконання Фур’є-аналізу, тобто визначає спектральні компоненти (складові) EMBED Equation.3
 сигналу EMBED Equation.3
. Обернене перетворення Фур'є (2) забезпечує Фур’є-синтез сигналу EMBED Equation.3
 за заданим набором спектральних компонент EMBED Equation.3
. У загальному випадку послідовності EMBED Equation.3
 і EMBED Equation.3
 - комплексні. Якщо ж EMBED Equation.3
 - дійсна послідовність, то EMBED Equation.3
 є комплексно спряженою: EMBED Equation.3
, EMBED Equation.3
, EMBED Equation.3
. Для дійсних сигналів спектральні компоненти з номерами EMBED Equation.3
 відповідають від’ємним частотам і не мають фізичного змісту. Швидким перетворенням Фур'є (ШПФ) називають групу алгоритмів, що суттєво зменшують обчислювальні затрати при обчисленні прямого чи оберненого перетворень у порівнянні з безпосереднім способом, що ґрунтується на формулах (1) чи (2). Серед відомих алгоритмів ШПФ найпростішу структуру має алгоритм Кулі-Тьюкі за основою два (ШПФ2). Його основна ідея полягає в рекурсивному (при EMBED Equation.3
) зведенні EMBED Equation.3
-точкових (EMBED Equation.3
) перетворень до двох EMBED Equation.3
-точкових. При часовому проріджені з цією метою застосовується формула розкладу (3) EMBED Equation.3
 (3) де EMBED Equation.3
, EMBED Equation.3
, EMBED Equation.3
. Якщо обчислюється EMBED Equation.3
-точкове перетворення комплексної послідовності, то кількість операцій комплексного множення EMBED Equation.3
 і додавання EMBED Equation.3
 в алгоритмі ШПФ рівні:EMBED Equation.3
, EMBED Equation.3
. У порівнянні з безпосереднім способом обчислення перетворень (1) чи (2), який потребує EMBED Equation.3
 комплексних множень і EMBED Equation.3
 комплексних додавань, обчислювальні затрати суттєво скорочуються - приблизно в EMBED Equation.3
 раз (наприклад, при EMBED Equation.3
- в сотні раз). Крім ноpмуючого постійного множника EMBED Equation.3
, в оберненому ДПФ маємо комплексно-спряжені повертаючі множникиEMBED Equation.3
. Для уникнення розробки алгоритму швидкого оберненого ДПФ використовуємо рівність EMBED Equation.3
 = EMBED Equation.3
 , що отримується з (2) в результаті операції комплексного спряження. Інакше кажучи, для обчислення оберненого ДПФ послідовності EMBED Equation.3
 за допомогою алгоритму прямого ШПФ достатньо: знайти комплексно спряжену послідовність EMBED Equation.3
; обчислити її пряме ДПФ - EMBED Equation.3
; виконати операції комплексного спряження і множення на нормуючий множник отриманої послідовності: EMBED Equation.3
* . Спектральний аналіз неперіодичних сигналів. Для неперіодичного сигналу EMBED Equation.3
 спектральне представлення описується парою інтегральних перетворень EMBED Equation.3
, (пряме), (4) EMBED Equation.3
, (обернене).(5) При цьому має місце рівність Парсеваля (6), EMBED Equation.3
. (6) Нехай EMBED Equation.3
 для EMBED Equation.3
 і EMBED Equation.3
...